例说解有关一次函数、反比例函数题的几种思想方法

   张家港市南丰中学  刘显伟

一次函数、反比例函数是八年级数学的两类重要函数.本文就如何利用待定系数、数形结合、分类讨论和类比建模等常用思想方法来解有关一次函数、反比例函数题例说如下：

一、待定系数法

例１ 已知 与 成反比例,且当 时 .试确定 与 的函数关系式.

解  因为 与 成反比例,若把 看成一个整体,可设 .

    又当 时 ,即 ,解得 .

    所以 与 的函数关系式为 .

方法说明  用待定系数法确定函数关系式的一般步骤为: (1)确定解决问题的且含有待定系数的函数关系的一般形式; (2)把相关的数据代入所设的函数关系式中,得到关于待定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组,把求出的待定系数的值代回所设的函数关系式中,从而写出确定的函数关系式.

二、数形结合法

1

1

0

    例2  已知一次函数 和反比例函数 的图象都经过点 .

(1)试确定一次函数的关系式;

(2)在右边的坐标系中画出这两个函数的大致图象,

并根据图象填空: 要使这两个函数的值都为非

负数的自变量 的取值范围是          .

解  (1)因为反比例函数 的图象经过点 ，

所以 ，解得 .于是点A的坐标为 .

又因为一次函数 的图象经过点 ,

所以 ,解得 . 所以一次函数的关系式为 .

(2)如右图所示为直角坐标系中 和 的大致图象. 

根据图象可以判断:当 时,两个函数的值都为非负数.

方法说明  由函数关系式画出函数图象,再借助图象的生动和直观性来阐明“数”之间的联系，这种“数”与“形”的互相转化,有利于寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简，从而使问题得到解决.

三、分类讨论法

例3  在同一直角坐标系中,反比例函数 和一次函数 的图象大致可能是

         (只需填图象的序号) .

(1)                (2)                   (3)                    (4)

 

解  应选择(1)、(2).

方法说明  在解某些函数问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类讨论.如本例由 的符号的不同将决定反比例函数与一次函数图象的不同位置,因此，要确定它们的大致图象,只需对 的符号进行讨论即可.若用图表来表示,就更加明了清晰了